Aistí Feynman

Trick Comhtháite Richard Feynman

Richard Feynman ag léachtóireacht i 1963 (Grianghraf: Cartlann Caltech)
“Bhí sé foghlamtha agam slánuimhreacha a dhéanamh trí mhodhanna éagsúla a thaispeántar i leabhar a thug mo mhúinteoir fisice ardscoile, an tUasal Bader dom. Thaispeáin [conas] paraiméadair a dhifreáil faoin gcomhartha lárnach - is oibríocht áirithe í. Is cosúil nach múintear go mór sna hollscoileanna; ní chuireann siad béim air. Ach rug mé ar conas an modh sin a úsáid, agus d’úsáid mé an uirlis damnaithe amháin sin arís agus arís eile. [Má] bhí deacracht ag guys ag MIT nó Princeton gné dhílis áirithe a dhéanamh, [ansin] tagaim ar cuairt agus déanaim iarracht idirdhealú a dhéanamh faoin gcomhartha lárnach, agus is minic a d’oibrigh sé. Mar sin fuair mé cáil mhór ar shlánuimhreacha a dhéanamh, toisc go raibh mo bhosca uirlisí difriúil ó bhosca gach duine eile, agus go ndearna siad a gcuid uirlisí go léir a thriail air sular thug siad an fhadhb dom. " (Cinnte go bhfuil tú ag Joking, an tUasal Feynman!)

Tá alt an lae inniu chun plé a dhéanamh ar theicníc lánpháirtithe doiléir ach cumhachtach ar a dtugtar difreáil faoin gcomhartha lárnach de ghnáth, ach dá ngairtear “teicníc Feynman” ó am go chéile mar gheall ar an tóir a bhí aige ar an teicníc seo ina leabhar, agus ar a dtugtar Riail Comhtháite Leibniz i gceart. .

Pointe soiléirithe amháin sula dtosaímid: Cé go dtugtar “teicníc Feynman” nó ainmneacha cosúla ar Riail Leibniz uaireanta, ní gá é a mheascadh le foirmiú lárnach meicníocht chandamach cosán Feynman. Dá réir sin don chuid eile den alt seo, tagróidh mé dó faoina ainm ceart.

Tosaímid leis an bhfadhb a bhaineann leis an dlúthchuid seo a leanas a ríomh:

Is é an leabhar a luann Feynman sa luachan thuas ná Advanced Calculus a d’fhoilsigh matamaiticeoir MIT darb ainm Frederick S Woods i 1926, tagann an dlúthchuid seo ón leabhar sin, agus atáirgeadh é ar Wolfram Mathworld.

Is féidir leat triail a bhaint as na gnáth-theicnící a fhoghlaimíonn tú i calcalas. Ionadú trialach, athrú inathraithe, comhtháthú páirteanna, sraith a chur in ionad an integrand, ní oibreoidh aon chuid de. Is féidir leat triail a bhaint freisin as Wolfram Alpha a ríomh, agus beidh am saor aige. Caithfimid a bheith níos cruthaithí.

Ba chóir duit a thabhairt faoi deara ar dtús gur tairiseach treallach é alfa maidir leis an ndlúthchuid. Ós rud é go mbeidh an slánuimhir cinnte mar uimhir atá ag brath ar alfa, féadfaimid an eilimint seo a láimhseáil mar fheidhm alfa. Seo a leanas imlíne an chur chuige:

  1. Smaoinigh ar an ndlúthchuid mar fheidhm f de alfa
  2. Ríomh an eilimint do luach áisiúil áirithe alfa. Sa chás seo, má tá alfa cothrom le ceann amháin, ansin tá an slánuimhir cothrom le nialas, rud a thugann an coinníoll f (1) = 0. Beidh sé seo ag teastáil uainn don chéim dheireanach.
  3. Déan idirdhealú idir an eilimint agus an alfa.
  4. Ríomh an eilimint chinnte maidir le x.
  5. Comhtháthú ar feadh tréimhse éiginnte maidir le alfa.
  6. Úsáid an fhíric go bhfuil f (1) = 0 chun luach tairiseach an chomhtháthaithe a ríomh.

Is é atá déanta againn ná an fhadhb a athrú ó dhlúthchuid a ríomh chun cothromóid dhifreálach shimplí a réiteach. Breathnaigh:

D’fhéadfadh sé a bheith cosúil nach ndearna muid ach rudaí níos measa dúinn féin. Breathnaíonn an dlúthchuid ag deireadh na bunlíne go háirithe iontach, ach is féidir é a ríomh le beagán clisteachta ailgéabrach.

Tá an t-eilimint dheireanach seo níos simplí ná mar a bhreathnaíonn sé. Ní mór dúinn fáil réidh leis an bhfeidhm cosine. Chun seo a dhéanamh, is féidir linn u-ionadú “droim ar ais” a dhéanamh.

Táimid beagnach críochnaithe. Déanfaimid an t-ionadú:

Tabhair faoi deara, ó | alfa | níos mó ná nó cothrom le 1, agus u dearfach nó nialasach, tá y raon ó nialas go hinfinity diúltach. Dá bhrí sin:

Dá bhrí sin, tá an chothromóid dhifreálach atá againn in alfa faoi dheireadh:

Trí chomhtháthú agus úsáid a bhaint as an bhfíric go bhfuil f (1) = 0, is féidir linn ríomh an eilimint a chríochnú:

Agus comhlánaíonn sé seo an ríomh.

Sa chéad sampla seo, bhí an paraiméadar a raibh muid ag idirdhealú leis i láthair cheana féin san integrand. Mar sin féin, is é fíorchumhacht an difreála faoin gcomhartha lárnach gur féidir linn paraiméadair a chur isteach go saor san integrand d’fhonn é a dhéanamh níos inrianaithe. Smaoinigh ar an ndlúthchuid seo a leanas, a tógadh ó chomórtas matamaitice William Lowell Putnam 2005.

Dóibh siúd nach bhfuil a fhios acu, is comórtas réiteach fadhbanna é comórtas Putnam a chuirtear ar fáil do majors matamaitice gach bliain i mí na Nollag. Tá cáil air as a bheith an-deacair, agus is gnách go mbíonn meánscóir idir 0 agus 1 as 120. Déantar an tástáil i dhá shraith de shé fhadhb, agus is gnách gurb é A5 agus A6 an ceann is deacra sa chéad tacar. Mar sin ba chóir go mbeadh an t-eilimint seo an-deacair, in ainneoin a chuma mealltach mealltach (ar cleas é, dála an scéil: tá an tástáil teoranta ó thaobh ama de, mar sin is gaiste é seo chun go gcuirfidh tú am amú ag iarraidh an t-eilimint a ríomh le teicnící calcalas bunrang) , nach n-oibreoidh). Mar sin féin, trí pharaiméadar a thabhairt isteach go cúramach agus an teicníc a d’fhorbair muid a úsáid, is féidir an dlúthchuid seo a dhéanamh an-simplí.

A tosnú:

Tabhair faoi deara go gciallaíonn sé seo gurb é I (1) an buneilimint bhunaidh atá againn agus go bhfuil mé (0) = 0. Lig dúinn leanúint ar aghaidh anois mar a rinneadh cheana:

Fuarthas an dara líne trí dhianscaoileadh codánach páirteach. Is slánuimhreacha tosaigh iad seo is féidir a ríomh ag an am céanna chun an tríú líne a fháil. Ó I (0) = 0, de réir Teoirim Bhunúsach na Calcalas:

Tabhair faoi deara go bhféadfaimis dul ar aghaidh freisin mar a rinneadh sa chéad sampla, an chothromóid dhifreálach do I a réiteach i dtéarmaí a, agus ansin an coinníoll I (0) = 0 a úsáid chun an tuaslagán áirithe I (a) a chinneadh sula ndéantar a = 1 a plugáil isteach. Déanann FTC an rud céanna anseo ach aicearraí a dhéanamh cúpla céim.

Is buneilimint bhunúsach é seo is féidir a ríomh ag an am céanna le teicnící caighdeánacha. Is é an toradh:

Agus mar sin is é réiteach na faidhbe:

Cén luach atá ar an eilimint a tuairiscíodh sna réitigh ar scrúdú 2005. Tabhair faoi deara go bpléann an bhileog réitigh teicnící eile chun dul i ngleic leis an ndlúthchuid seo, ach is é an bealach seo an ceann is simplí agus is galánta i bhfad, gan trácht ar an gceann is gasta.

Ceann de na scileanna is tábhachtaí i réiteach fadhbanna matamaitice is ea an cumas ginearálú. Is cosúil go bhfuil fadhb ar leith, cosúil leis an eilimint a ríomh muid díreach, dosháraithe léi féin. Mar sin féin, trí chéim siar agus machnamh a dhéanamh ar an bhfadhb ní ina haonar ach mar bhall aonair d’aicme iomlán fadhbanna gaolmhara, is féidir linn fíricí a bhí i bhfolach uainn roimhe seo a aithint. Bhí sé ró-dheacair iarracht an slánuimhir a ríomh don luach áirithe a = 1, mar sin ríomh muid luach an tslánuimhir do gach luach a d’fhéadfadh a bheith ag a. Go paradóideach, tá go leor cásanna ann ina bhfuil sé níos éasca fadhb ghinearálta a réiteach ná fadhb shonrach a réiteach.

Sílim freisin go gcuireann sé seo béim ar a thábhachtaí atá sé a bheith toilteanach foghlaim lasmuigh den seomra ranga. Go minic i gcúrsaí matamaitice agus eolaíochta, ciallaíonn srianta ama agus tosca eile nach mbíonn aon rogha ag oideachasóirí uaireanta ach gan ábhair áirithe a áireamh sa churaclam. Ciallaíonn sé seo mura nglacann tú tionscnamh chun do chuid foghlama féin a stiúradh, ansin tá a lán eolais a d’fhéadfadh a bheith an-spéisiúil agus úsáideach a chaillfidh tú.

Má tá aon ábhar agat ar mhaith leat tuilleadh a fháil amach faoi, bíodh drogall ort mo chuid tuairimí a chur in iúl dom.

Tá an aiste seo mar chuid de shraith scéalta ar ábhair a bhaineann le matamaitic, a fhoilsítear i Cantor's Paradise, foilseachán Meán seachtainiúil. Go raibh maith agat as léamh!