∞⁰ = ∞, 1, nó neamhshainithe. Cé acu é?

Cúpla lá ó shin scríobh mé alt faoi Achoimre Ramanujan, ar sraith matamaiticiúil é scéal fada a ghearradh gearr a bhfuil cuma rud mar seo air:

Más mian leat an t-alt a léamh, cliceáil anseo. Cruthaím an fhíric seo san alt in éineacht le dhá chothromóid eile atá chomh spéisiúil céanna. Seo i ndáiríre nuair a shiúil mé isteach sa smaoineamh don alt seo. Tar éis dom Achoimre Ramanujan a fhoilsiú, fuair mé trácht ar an úsáid a bhainim as comaitéireacht tacar a bhí gan teorainn gan áireamh. Is í an chomaitéireacht an smaoineamh má athraíonn tú 1 + 2 + 3, ní athraíonn na téarmaí an toradh. Mar sin 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, is féidir leat ach is iad na téarmaí in aon ord agus an freagra fós ná 6. Úsáidim an mhaoin seo chun an chothromóid thuas a chruthú i m’alt eile, ach thug forceOfHabit spéisiúil suas pointe, an bhfuil tacar uimhreacha gan teorainn ann?

“Is léir go intuigthe go bhfuil a dhá oiread slánuimhreacha dearfacha ann agus fiú slánuimhreacha dearfacha. Ach má ghlacaimid seicheamh na slánuimhreacha dearfacha agus iad a iolrú faoi 2 faighimid seicheamh na slánuimhreacha dearfacha fiú. Ach ní athraíonn líon na mball gach ball den seicheamh a iolrú faoi 2. Mar sin tá an líon céanna slánuimhreacha dearfacha ann agus atá ag slánuimhreacha dearfacha fiú. Mar sin, cad é? Dhá oiread an líon céanna nó an líon céanna? " - forceOfHabit

Agus go hionraic, ní raibh a fhios agam an freagra air seo. Ach chuir sé mo spéis, agus mar sin shocraigh mé taighde a dhéanamh air. Chuaigh mé síos poll péisteanna Wikipedia trí bhrainsí éagsúla den mhatamaitic, ag foghlaim roinnt fíricí spéisiúla ar an mbealach, agus chríochnaigh mé ag cardinality. Pléann Cardinality le tacair agus is é an chaoi a ndéanfá cur síos ar líon na n-eilimintí i dtacar. Mar shampla, tá 3 ghné ag an tacar {1,2,3} nó cairdiúlacht 3.

Agus cairdeas á úsáid againn, is féidir linn tosú ag fáil greim ar na ceisteanna thuas. Rinne mé taighde beagáinín eile agus fuair mé cuid spéisiúil den chairdinéireacht ar a dtugtar Cardinal Arithmetic ar oibríochtaí uimhríochta iad is féidir a dhéanamh ar uimhreacha cairdiacha a ghinearálann na gnáthoibríochtaí d’uimhreacha nádúrtha. Chun é a chur i dtéarmaí uain, is sraith speisialta oibríochtaí iad a oibríonn go sonrach d’uimhreacha cairdiacha, gach ceann acu lena sainmhíniú féin. Mar shampla, má tá dhá shraith A agus B agat le cairdinéil 3 agus 4 faoi seach, cuirimid é seo in iúl mar | A | = 3 agus | B | = 4. Ansin | A | + | B | = | A ∪ B |. Ar ndóigh, tá sé seo mar an gcéanna le luachanna uimhriúla | A | a chur leis agus | B |, taispeánann an fhíric go bhfuil sé sainithe ar an mbealach seo an chaoi a bhfuil oibríochtaí uimhríochta ann is féidir a chruthú do thacair shonracha (ar choinníoll go gcomhlíonann an oibríocht critéir áirithe).

Ag baint úsáide as uimhríocht chairdiach, tá sé cruthaithe ní amháin go bhfuil líon na bpointí i bhfíorlíne uimhir cothrom le líon na bpointí in aon deighleog den líne sin. Fuaimeann sé an-fhrith-iomasach, ach ansin arís, mar sin tá an cheist thuas, agus is é sin an fáth gur maith liom smaoineamh go bhfuil siad cosúil lena chéile. Ar ndóigh, ní cruthúnas foirmiúil nó fiú bailí é seo ar bhealach ar bith, ach chuirfinn in iúl má mheasann tú iad sa chiall chéanna, ansin is é an freagra ar cheist forceOfHabit rogha b; an líon céanna slánuimhreacha.

Ach ar an láimh eile, b’fhéidir go bhfuil mé go hiomlán mícheart, agus is é sin treallús an éigríochta. Tá an oiread sin nach bhfuil ar eolas faoi toisc nach bhfuil ann ach coincheap. Níl aon bhealach ann le hinfinity a thomhas toisc go bhfuil sé neamh-inúsáidte de réir sainmhínithe agus gur coincheap deacair ann féin é do cheann a fhilleadh. Sílim gur thug ollamh mo mhatamaitice sa chéad bhliain achoimre ar an éigríocht go maith: “Is fuath liom an Infinity. Ní uimhir í, ach caithimid leis mar cheann, ach níor cheart dúinn. Is coincheap é, ní luach matamaiticiúil, mar sin má úsáideann aon duine agaibh é mar sin, féadfaidh tú an cúrsa a fhágáil chomh maith! "

Anois don uimhir is fearr liom ar domhan. Fiafraíonn tú de dhuine cad é an uimhir is fearr leo (tar éis dóibh éirí as caint bheag faoin aimsir ar ndóigh), agus is dócha go ndéarfaidh siad rud éigin a bhaineann le breithlá nó uimhir ádh a gcreideann siad ann. Ach fiafraigh díom, agus inseoidh mé duit 0. Ní uimhir ádh í, ná breithlá nó comóradh, ach is é an rud is suimiúla domsa i bhfad.

Maidir le tosaithe, tá luach aige, ach níl luach air. Má chuireann tú uimhir eile leis, fanfaidh sé mar an gcéanna. Dealaigh é, fanann sé mar an gcéanna. Ach nuair a iolraíonn tú é, faigheann tú 0, is cuma cad a iolraíonn tú faoi.

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

Agus nuair a roinneann tú é, faigheann tú 0 is cuma cén t-ainmneoir atá air (uimhir bharra 1, fanfaidh tú tiúnta chuige sin). Tá 0/1234 fós nialas

Ach nuair a bhíonn tú ag tumadh faoi nialas, faigheann tú roinnt rudaí atá an-wacky. Tá mé ag caint dodlet urchair sa leibhéal maitrís dÚsachtach. Tá a fhios ag duine ar bith a ghlac rang ailgéabar nach féidir linn deighilt le nialas, toisc go bhfuil sé neamhshainithe. Aicmímid é mar neamhshainithe mar má tá tú ag iarraidh 6 a roinnt ar nialas, tá sé cosúil leis an gceist a chur "Cén líon uaireanta 0 is ionann sé agus sé?" Tá a fhios againn nach bhfuil aon uimhir ann chun é sin a shásamh, mar sin ní leanann deighilt le nialas na gnáthrialacha roinnte. Dá réir sin, déanaimid neamhaird air. Ach má dhéanaimid dearmad ar an riail sin ar feadh soicind, is féidir le deighilt le nialas a bheith ina uirlis an-néata chun rudaí atá go hiomlán ríméadach a chruthú. Mar shampla:

Lig a = b. Ansin
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) # Tarlaíonn céim phraiticiúil anseo
2 = 1

Is ansin a théann muid, chruthaigh mé go raibh 2 = 1 agus bhris mé an mhatamaitic! Is é an chúis a oibríonn sé seo mar gheall ar an gcéim draíochta, an dá thaobh a roinnt ar a² - ab, ach má fhéachann tú ar an ráiteas bunaidh, a = b, mar sin a² = ab, i bhfocail eile a² - ab = 0. Tá sé seo roinnte le nialas, atá neamhshainithe ar an gcúis chruinn seo. Is é an fáth freisin go seachnaíonn matamaiticeoirí é cosúil leis an bplá.

Ar ámharaí an tsaoil is é an tríú rogha é i ndáiríre. D’fhéadfainn dul tríd an gcaoi a bhfuil sé i bhfoirm teorann, is foirm neamhchinntithe é, ach is dóigh liom gurb é cara mór le rá ó Apple a chuireann síos air:

“Samhlaigh go bhfuil 0 fianán agat agus roinnfidh tú iad go cothrom i measc 0 chara. Cé mhéad fianán a fhaigheann gach duine? Féach, níl ciall leis. Agus tá Cookie Monster brónach nach bhfuil fianáin ann. Agus tá brón ort nach bhfuil cairde agat. " - Siri (i ndáiríre, déan iarracht fiafraí de Siri “cad é 0 roinnte ar 0?")

Ceist níos casta a bhaineann le nialas, cad é 0⁰? Bhuel de réir sainmhínithe, má tá cumhacht b agat, ansin bheadh ​​an toradh iolraithe leis féin b líon uaireanta. Mar sin caithfidh sé a bheith nialasach ceart? Toisc gur nialas aon uimhir arna iolrú faoi nialas. Ach tá a fhios againn freisin go bhfuil a⁰ = 1 (do gach 0), mar sin b’fhéidir gur 1 é? Nó ar cheart é a shainiú mar roinnt faoi 0? Tá díospóireacht déanta air seo le fada sa mhatamaitic, agus tá argóintí ann don dá thaobh maidir le cad ba cheart a bheith sa fhreagra ceart. Tá suíomh Gréasáin spéisiúil anseo a thugann argóintí don dá thaobh, ach is iad seo a leanas na príomhchinn: Ar an taobh 0⁰ ba chóir a bheith neamhshainithe, ní mór dúinn:

  1. Tá a⁰ = 1 ar eolas againn (do gach know 0), ach a⁰ = 1 (do gach a> 0). Ciallaíonn an contrárthacht seo gur cheart 0⁰ a bheith neamhshainithe

Ar an taobh 0⁰ = 1, ní mór dúinn:

  1. Ionas go gcoinneoidh an teoirim binomial do x = 0, teastaíonn 0⁰ = 1 uainn
  2. Léiríonn 0⁰ an táirge folamh (líon na dtacar de 0 eilimint is féidir a roghnú as tacar 0 eilimint), arb é 1 é de réir sainmhínithe (is é seo an chúis chéanna freisin gur 1 aon rud eile a ardaíodh go cumhacht 0).

Mar sin, cad é an freagra? Bhuel níl freagra nithiúil againn fós. Aontódh mórchuid na ndaoine go bhfuil sé neamhchinntithe (ós rud é nach bhfuil x ^ y mar fheidhm de dhá athróg leanúnach ag an mbunús). Ach tá argóintí bailí ag an dá thaobh, agus go dtí go bhféadann duine cruthúnas nithiúil a chruthú ag éileamh ceann amháin nó an taobh eile, tá sé dodhéanta i ndáiríre a éileamh an bhfuil ceachtar acu fíor.

Anois b’fhéidir go bhfuil tú ag fiafraí cad a tharlóidh má chomhcheanglaíonn tú an dá rud. Cad é ∞ x 0? Cad mar gheall ar ∞⁰? Bhuel tagann an fhadhb ar ais go dtí an Infinity, sa mhéid is nach bhfuil inti ach coincheap. Níl aon bhealach ann é a thomhas, ní féidir líon gan teorainn de bhéar gummy nó méid gan teorainn uachtar reoite a bheith agat (cé go bhfuilim cinnte gur mian linn go léir go bhféadfaimis).

An chuid is mó den am, tá an freagra neamhshainithe. Is samplaí iad seo uile de cheisteanna nach bhfuil freagra acu, mar ní féidir linn luach fiúntach a thabhairt do choincheap mar éigríocht. Ar ndóigh tá an eisceacht corr ann, cosúil le 0 ^ ∞, a bhfuil cineál-luach de 0. Má ghlacann tú an teorainn 0 ^ n mar is iondúil go n-éigríonn sé, is nialas é. Ach is cásanna neamhchoitianta iad sin, agus fiú ansin níl 0 ^ ∞ fós cothrom le 0 go teicniúil, bíonn sé an-ghar dó.

Mar sin a fheiceann tú, is rud an-spéisiúil é an Infinity toisc go bhfuil sí chomh inláimhsithe agus chomh teibí ag an am céanna. Feiceann tú é an t-am ar fad i dtéacsleabhair agus cothromóidí matamaitice, ach níl sainmhíniú nithiúil ná luach againn fós ar a bhfuil ann.

Tá nialas díreach uamhnach toisc go ndéanann sé a rud féin. Uaireanta is maith leis a bheith ag imirt de réir na rialacha, uaireanta déanann sé a rud féin, agus uaireanta glasálann sé é féin i seomra agus diúltaíonn sé comhoibriú le duine ar bith.

Tá a gcáilíochtaí fuascailte féin ag an mbeirt acu, atá an-úsáideach i réimse na matamaitice. Tá a gcuid riteoga féin acu freisin, rud a d’fhéadfadh a bheith úsáideach agus uaireanta, agus pian sa phutóg ag daoine eile. Ach cé nach bhfuil ansin ach ceann amháin d’fhíricí an tsaoil, is í an ghaire an éigríocht agus an nialas.